Question

19．如图，AB为⊙O的弦，AB=OA．
（1）如图1，求tanA；
（2）如图2，CD为⊙O的弦，CD分别交OA、OB于点E、F，CD∥AB，求证：CE=DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作OB的平行线交⊙O于点G，连接CG，EF=4，DG=11，求点O到直线CG的距离．

Answer 1

分析 （1）只要证明△OAB是等边三角形即可解决问题．
（2）如图2中，作OK⊥CD于K．只要证明CK=KD，EK=KF即可．
（3）如图3中，作OH⊥CD于K，FK⊥DG于K，GN⊥CD于N，OJ⊥CD于J，OM⊥CG于M．由四边形OFKH是矩形，设OH=x，推出HK=OF=4，OH=FK=x，KD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，由OH⊥DG，DG=11，推出DH=GH=$\frac{11}{2}$，得到4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{11}{2}$，想办法求出CD、CG、OJ，利用面积法：S_△COG+S_△COD+S_△DOG=S_△CDG，求出OM即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵OA=OB，AB=OA，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴tanA=$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，作OK⊥CD于K．

∵OK⊥CD，
∴CK=KD，
∵CD∥AB，
∴∠OEF=∠A=60°=∠AOB，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=OF，∵OK⊥EF，
∴KE=KF，
∴CK-KE=KD-KF，即CE=DF．

（3）如图3中，作OH⊥CD于K，FK⊥DG于K，GN⊥CD于N，OJ⊥CD于J，OM⊥CG于M．

∵△OEF是等边三角形，
∴EF=OF=OE=4，
∵∠OHK=∠FKH=90°，
∵DG∥OB，
∴∠HOF+∠OHK=180°，
∴∠HOF=90°，
∴∠OHK=∠FKH=∠HOF=90°，
∴四边形OFKH是矩形，设OH=x，
∴HK=OF=4，OH=FK=x，KD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵OH⊥DG，DG=11，
∴DH=GH=$\frac{11}{2}$，
∴4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{11}{2}$，
∴x=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{O{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{11}{2}）^{2}}$=$\sqrt{37}$，
∴JD=CJ=$\sqrt{O{D}^{2}-O{J}^{2}}$=$\sqrt{37-12}$=5，CD=2JD=10，
在Rt△GND中，∵DG=11，∠GDN=60°，∠GND=90°，
∴DN=$\frac{11}{2}$，GN=$\frac{11\sqrt{3}}{2}$，CN=CD-DN=$\frac{9}{2}$，
在Rt△CGN中，CG=$\sqrt{C{N}^{2}+G{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{11\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{111}$，
∵S_△COG+S_△COD+S_△DOG=S_△CDG，
∴$\frac{1}{2}$$•\sqrt{111}$•OM+$\frac{1}{2}$•10•2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•11•$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$•10•$\frac{11\sqrt{3}}{2}$，
∴OM=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求距离，属于中考压轴题．