Question

【题目】如图，在中，，，，点是斜边上一点，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）过点的与边相切，切点为的中点，与直线的另一个交点为．

（i）求的半径；

（ⅱ）连接，试探究与的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）tan∠BCD＝；（Ⅱ）（i）；（ⅱ）AF⊥CD，理由见解析．

【解析】

（Ⅰ）如图1，过D作DM⊥BC，垂足M，则DM∥AC，可得△DMB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出DM和CM的长，进一步即可求出结果；

（Ⅱ）（ⅰ）如图2，连接OE，OF，根据切线的性质得到OE⊥AC，作OH⊥BE，垂足为H，则四边形OHCE为矩形，于是可得OH的长，设⊙O的半径为r，则可根据垂径定理和矩形的性质用r的代数式表示出HF的长，然后在Rt△OHF中根据勾股定理即可建立关于r的方程，解方程即得结果；

（ⅱ）如图2，延长CD，交AF于点K，先由（ⅰ）的结果求出CF的长，进一步即可求出tan∠CAF的值，与（Ⅰ）题的结果对比可得∠CAF＝∠BCD，进而可根据直角三角形的性质和等量代换得出∠FCK+∠AFC＝90°，于是可得结论．

解：（Ⅰ）如图1，过D作DM⊥BC，垂足M，

∵∠ACB＝90°，

∴DM∥AC．

∴△DMB∽△ACB，

∵AD＝4BD，AC＝3，BC＝1，

∴DM＝AC＝，CM＝BC＝．

则在Rt△DMC中，tan∠DCM＝，

即tan∠BCD＝；

（Ⅱ）（ⅰ）如图2，连接OE，OF，

∵⊙O与AC相切于AC中点E，

∴OE⊥AC，

作OH⊥BC，垂足为H，∵∠ACB＝90°，

∴四边形OHCE为矩形，

设⊙O的半径为r，则OF＝OE＝CH＝r，

∴OH＝CE＝AC＝，HF＝BH＝CH﹣BC＝r﹣1．

∴在Rt△OHF中，由勾股定理得：OF2＝OH2+HF2，

∴r2＝+（r﹣1）2，

解得r＝；

（ⅱ） AF与CD的位置关系是AF⊥CD，理由如下：

如图2，延长CD，交AF于点K，

由（ⅰ）知，CF＝BC+BF＝1+2（r﹣1）＝，

∴在Rt△ACF中，∠ACB＝90°，tan∠CAF＝，

∵tan∠BCD＝，

∴∠CAF＝∠BCD，即∠CAF＝∠FCK，

∵∠CAF+∠AFC＝90°，

∴∠FCK+∠AFC＝90°．

即AF⊥CD．