Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=6，BD=3，求BC和AE的长．

Answer 1

（1）解：
DE与⊙O的位置关系式相切．
理由是：连接OC，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，
∴∠EAC=∠CAF，
∵OA=OC，
∴∠CAF=∠OCA，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线，
即DE与⊙O的位置关系式相切．

（2）解：
∵OC⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∵AB=6，BD=3，
∴OB=3=BD，
即B为OD中点，
∴CB=OB=BD=3，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△ACB中，AB=6，BC=3，由勾股定理得：AC=3，
在△ACB中，由三角形的面积公式得：×AC×BC=×AB×CF，
∴×3×3=×6×CF，
CF=，
∵CE=CF，
∴CE=，
在Rt△AEC中，AC=3，CE=，由勾股定理得：AE=，
即AE=，BC=3．
分析：（1）求出AC平分∠EAF，推出OC∥AE，推出OC⊥DE，根据切线判定推出即可；
（2）根据直角三角形斜边上中线性质求出BC=OB=3，根据三角形面积公式求出CF，得出CE，根据勾股定理求出AE即可．
点评：本题考查了切线的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用．