Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，在⊙O上取点D，连接CD，使得AC=CD，延长CD交直线AB于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AC=2

3

，AE=6．
①求⊙O的半径．
②点M是优弧

DAB

上的一个动点（不与B，D重合），求MD，MB及

BD

围成的阴影部分面积的最大值．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连结OD，OC．根据SSS可证△CAO≌△CDO，得∠ODC=∠OAC=90°，则CD是⊙O的切线；    
（2）①由（1）的结论可以得到CD=CA，再依据勾股定理可以求得⊙O的半径为2；                                               
②面积可看成两部分，三角形DMB跟弧DB的面积，弧DB不变，三角形面积为底DB乘以高除以2，当M运动到优弧

DAB

的中点时，阴影部分的面积最大，可求得最大值．

解答：解：（1）连接OD，OC，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAB=90°，
在△CAO和△CDO中

CA=CD CO=CO OA=OD

∴△CAO≌△CDO．
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）①∵AC=2

3

，AE=6，
∴根据勾股定理得：CE=4

3

，
又∵AC=CD，
∴DE=2

3

，
∴∠CEA=30°，
∴tan∠CEA=

OD

DE

=

3

3

，
∴OD=2．
∴⊙O的半径为2．
②∵图中阴影部分的面积可看成两部分，△DMB的面积和弓形DB的面积，
∵弧DB不变，∴三角形底边DB不变，
当M运动到优弧

DAB

的中点，高最大，即面积最大．
由（1）及第二问①得：∠DOB=60°，当M运动到优弧

DAB

的中点时，此时高经过圆心且垂直于DB，所以高的值为2+

3

，
又△DOB是等边三角形，∴DB=OB=2，
∴S△DBM=

1

2

×2×(2+

3

)=2+

3

，
又因为S_弓形DB=S_扇形ODB-S_△ODB=

60×4π

360

-

3

=

2π

3

-

3

，
∴图中阴影部分的面积为：S=S_弓形DB+S_△DBM=

2

3

π+2．

  

点评：本题主要考查了切线的判定，垂径定理以及扇形面积的计算，解答本题要注意如何选取特殊点来确定图形的面积的最大值．