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9.(1)一个两位数,其中a表示十位上的数字,b表示个位上的数字(a≠b,ab≠0),把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数.则这两个两位数的和一定能被11整除,这两个两位数的差一定能被9整除.
(2)将一个正整数从个位到最高位的数字依次重新书写成一个新数,恰好与原数相同,我们把这样的正整数称为“对称数”,如:5,33,565,2552,12421分别是一位、两位、三位、四位、五位“对称数”.
①请你写出2个四位“对称数”,猜想任意一个四位“对称数”,能否被11整除,并用字母式子说明理由;
②已知一个能被11整除的三位“对称数”,设其个位上的数字为x(1≤x≤4),十位上的数字为y,求y与x的数量关系,并写出所有能被11整除的三位“对称数”.

分析 (1)根据题意用a与b表示这两个两位数,然后列式化简即可求出答案.
(2)①依题意任意一个四位“对称数”的千位数字与个位数字相同,百位数字与十位数字相同,设个位数字为a,百位数字为b,列出式子即可求解.
②依题意任意一个三位“对称数”的百位数字与个位数相同,其个位上的数字为x(1≤x≤4),十位上的数字为y,百位数字为x,列出式子即可求解.

解答 解:(1)设该两位数为:10a+b,
对调后,该两位数为:10b+a,
∴这两个数的和为:10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)
这两个数的差为:10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)
故这两个数的和能够被11整除,这两个数的差能够被9,
(2)①如:1111,1661;能被11整除,理由如下:
依题意任意一个四位“对称数”的千位数字与个位数字相同,百位数字与十位数字相同,设个位数字为a,百位数字为b,则
四位“对称数”=1000a+100b+10b+a                               
=1001a+110b=11×(91a+10b)                      
因为a,b为正整数,所以91a+10b,11×(91a+10b)被11整除.
②依题意任意一个三位“对称数”的百位数字与个位数相同,其个位上的数字为x(1≤x≤4),十位上的数字为y,百位数字为x,则
三位“对称数”=100x+10y+x                                   
=101x+10y=99x+11y+(2x-y)
=11(9x+y)+(2x-y)                                  
因为11(9x+y)+(2x-y)能被11整除,所以2x-y能被11整除,
即2x-y的值为0或11或22,又1≤x≤4,0≤x≤9,所以2x-y=0,
所以y=2x,
所有能被11整除的三位“对称数”为121,242,363,484.
故答案为:(1)11;9

点评 本题考查整式的运算,解题的关键是根据题意列出式子,本题属于中等题型.

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