Question

8．如图所示，已知ABC，∠C=90°，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A₁B₁C₁的位置．
（1）若平移的距离为1.5，求△ABC和△A₁B₁C₁的重叠部分的面积；
（2）若设平移距离为x，△ABC和△A₁B₁C₁重叠部分的面积为y，试用含x的代数式表示y．

Answer 1

分析 （1）AB与A₁C₁交于点D，如图，先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠ABC=45°，再根据平移的性质得到CC₁=1.5，∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，则BC₁=BC-CC₁=$\frac{5}{2}$，可判断△DC₁B为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求S_△DBC1即可；
（2）由（1）得△DC₁B为等腰直角三角形，根据平移的性质得CC₁=x，则BC₁=BC-CC₁=4-x，所以DC₁=BC₁=4-x，然后根据三角形面积公式易得y=$\frac{1}{2}$（4-x）²（0≤x≤4）．

解答 解：（1）AB与A₁C₁交于点D，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵△ABC沿CB方向平移到△A₁B₁C₁的位置，
∴CC₁=1.5，∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，
∴BC₁=BC-CC₁=$\frac{5}{2}$，△DC₁B为等腰直角三角形，
∴DC₁=BC₁=$\frac{5}{2}$，
∴S_△DBC1=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{8}$，
即△ABC和△A₁B₁C₁的重叠部分的面积为$\frac{25}{8}$；
（2）由（1）得△DC₁B为等腰直角三角形，
∵CC₁=x，
∴BC₁=BC-CC₁=4-x，
∴DC₁=BC₁=4-x，
∴y=$\frac{1}{2}$（4-x）²（0≤x≤4）．

点评 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．