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3.如图,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧,与y轴交于点C.P为BC上的一个动点,过P作BC的垂线交抛物线于M、N两点.若四边形BMCN的面积为12,求直线MN的解析式.

分析 过点N作ND∥y轴,过点M作MD∥x轴.令x=0求得点C的坐标,令y=0求得点B的坐标,利用勾股定理可求得BC=3$\sqrt{2}$,然后由四边形BMCN的面积为12可求得MN=4$\sqrt{2}$,从而得到MD=4,因为MN⊥BC,故此可设MN的解析式为y=x+b,将y=x+b与y=-x2+2x+3联立,得到x2-x+b-3=0,最后根据$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$=MD=4求得b的值即可.

解答 解:如图所示:过点N作ND∥y轴,过点M作MD∥x轴.

令x=0得y=3,则点C的坐标为(0,3).
令y=0得:-x2+2x+3=0,
解得:x1=3,x2=-1.
则点B的坐标为(3,0)
在Rt△OBC中,BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$.
∵NM⊥BC,
∴四边形BMCN的面积=$\frac{1}{2}MN•BC=12$,即$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}•MN=12$,
解得:MN=4$\sqrt{2}$.
∵MN⊥BC,
∴直线MN的一次项系数为1.
∴∠NMD=45°
∴MD=4
设直线MN的解析式为y=x+b,将y=x+b与y=-x2+2x+3联立得:-x2+2x+3=x+b,
整理得:x2-x+b-3=0.
∵MD=4,
∴$\frac{\sqrt{{1}^{2}-4×1×(b-3)}}{1}$=4.
解得:b=-$\frac{3}{4}$.
∴直线MN的解析式为y=x-$\frac{3}{4}$.

点评 本题主要考查的是抛物线与x轴的交点,勾股定理的应用、一次函数的性质、明确相互垂直的直线的一次项系数的乘积为-1是解题的关键.

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