Question

【题目】P是△ABC的内心，BC=4，∠BAC=90°,则△PBC的外接圆半径为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作如下所示图，先求出∠BPC的度数，再利用圆内接四边形对角互补求出∠BQC的度数，再由圆周角定理求出∠BOC度数，进而得到△BOC是等腰直角三角形，进而求解.

解：作如下所示图，P为△ABC的内心，圆O为△PBC的外接圆，∠BAC=90°

由内心的定义可知，BP、CP、AP分别是∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线，

∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)

=180°-(∠ABC+∠ACB)

=180°-(180°-∠BAC)=180°-×90°=135°.

由圆内接四边形对角互补知：∠BQC+∠BPC=180°

∴∠BQC=180°-∠BPC=45°

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半知：

∠BOC=2∠BQC=90°

且BO=CO，

∴△BOC为等腰直角三角形，

由BC=4可知，BO=.

故答案为：.