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已知关于的一元二次方程

(1)求证:当a取不等于1的实数时,此方程总有两个实数根;

(2)若mn)是此方程的两根,并且.直线lx轴于点A,交y轴于点B.坐标原点O关于直线l的对称点在反比例函数的图象上,求反比例函数的解析式;

(3)在(2)成立的条件下,将直线l绕点A逆时针旋转角,得到直线y轴于点P,过点Px轴的平行线,与上述反比例函数的图象交于点Q,当四边形的面积为时,求的值.

 


(1)证明:

为关于x的一元二次方程,

      ∴,即,

      ∴.

.

∴当a取不等于1的实数时,此方程总有两个实数根.      

(2)解:关于x的一元二次方程的两根为

      .

   ∴.

   ∵mn是方程的两根,且,

   ∴.

   ∴.                              …   ∴.

   ∵,

   ∴.

   ∴直线l的解析式为.

   ∴直线lx轴交点,与y轴交点.

为等腰直角三角形.

∴坐标原点O关于直线l的对称点的坐标为.

∴反比例函数的解析式为.   

(3)解:设点P的坐标为(0, p),延长PQ交于点G.

   ∵轴,与反比例函数图象交于点Q,

   ∴四边形AOPG为矩形.

Q的坐标为.

   ∴.

   当,即时,

 ∵,

   ∴

            

            

.

.

   ∴.

     经检验,符合题意.

   ∴.                          

   ∴.

     点A关于y轴的对称点为,连结,易得.

.

.

.

.   

   当,即时,

可类似地求得,这与矛盾,所以此时点P不存在.

∴旋转角.                  

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