Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正确；先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出,求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG＝，进而求出DG2+BE2＝，在求出EG2=≠，判断出③错误，即可得出结论．

解：如图，在正方形ABCD中,AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4,∠B＝∠BAD＝90°,

∴∠HAD＝90°,

∵HF∥AD,

∴∠H＝90°,

∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°,

∴∠AFH＝∠HAF.

∵AF＝,

∴AH＝HF＝1＝BE.

∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC,

∴△EHF≌△CBE（SAS）,

∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE,

∵∠BCE+∠BEC＝90°,

∴HEF+∠BEC＝90°,

∴∠FEC＝90°,

∴△CEF是等腰直角三角形,

在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4,

∴EC2＝BE2+BC2＝17,

∴S△ECF＝EFEC＝EC2＝,故①正确:

过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,

∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD,

∴四边形APFH是矩形,

∵AH＝HF,

∴矩形AHFP是正方形,

∴AP＝PH＝AH＝1,

同理：四边形ABQP是矩形,

∴PQ＝AB＝4,BQ＝AP1,FQ＝FP+PQ＝5,CQ＝BC﹣BQ＝3,

∵AD/span>∥BC,

∴△FPG∽△FQC,

∴,

∴,

∴PG＝,

∴AG＝AP+PG＝,

在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝,

∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝=8，故②正确；

∵AD＝4，

∴DG＝AD﹣AG＝,

∴DG2+BE2＝+1＝,

∵EG2＝（）2＝≠,

∴EG2≠DG2+BE2,故③错误,

∴正确的有①②,

故选:C.