如图①.在平面直角坐标系中.一次函数l1:y1=ax+b的图象经过点A和B.其中点B的坐标是(0.6).∠OAB=45°.一次函数l2:y2=-$\frac{1}{3}$x的图象与l1相交于点C．(1)求一次函数l2:y1=ax+b的解析式.并求y1＞y2时x的取值范围,(2)如图②.分别过A.B两点作直线l2的垂线.垂足为E.F.判断线段AE.BF.EF三者之间存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数l₁：y₁=ax+b的图象经过点A和B，其中点B的坐标是（0，6），∠OAB=45°，一次函数l₂：y₂=-$\frac{1}{3}$x的图象与l₁相交于点C．
（1）求一次函数l₂：y₁=ax+b的解析式，并求y₁＞y₂时x的取值范围；
（2）如图②，分别过A、B两点作直线l₂的垂线，垂足为E、F，判断线段AE、BF、EF三者之间存在的数量关系？并说明理由．
（3）设一次函数l₃：y₃=kx（k＞0），分别过A、B两点作直线l₃的垂线，垂足为E、F，判断线段AE、BF、EF三者之间存在的数量关系，请直接写出结果．

分析（1）由点B的坐标是（0，6）、∠OAB=45°知OA=OB=6，即点A坐标为（6，0），根据点A、B坐标利用待定系数法可得一次函数l₁的解析式，由一次函数l₁和l₂的解析式求得交点C的坐标，结合图象可得答案；
（2）由∠AOB=90°知∠AOE+∠BOF=90°，再根据∠AEO=∠OFB=90°知∠AOE+∠OAE=90°，从而得∠BOF=∠OAE，结合OA=OB=6可证△AOE≌△OBF得AE=OF、OE=BF，即可知EF=OF+OE=AE+BF；
（3）分①k=1、②0＜k＜1、③k＞1三种情况，与（2）同理证△AOE≌△OBF得AE=OF、OE=BF，结合图形中EF转化为线段的和或差即可得出答案．

解答解：（1）∵点B的坐标是（0，6），∠OAB=45°，
∴OA=OB=6，即点A坐标为（6，0），
将点（6，0）、B（0，6）代入y₁=ax+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{6a+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线l₁的解析式为：y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=-\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由图象可知当x＜$\frac{9}{2}$时，直线l₁位于直线l₂上方，即y₁＞y₂；

（2）EF=AE+BF，
如图1，

∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BOF=∠OAE，
在△AOE和△OBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠OFB}\\{∠OAE=∠BOF}\\{OA=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF、OE=BF，
则EF=OF+OE=AE+BF；

（3）EF=|AE-BF|．
①如图2，

当l₃：y=kx垂直于直线l₁：y=-x+6时，即k=1，
由图可知，点E与点F重合，
∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
∴AE=BF=OE，EF=0，
即EF=AE-BF；
②如图3，当0＜k＜1时，

∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠BOF}\\{∠AEO=∠OFB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴AE=OF、OE=BF，
则EF=OE-OF=BF-AE；
③如图4，当k＞1时，

与②同理可得△AOE≌△OBF，
∴AE=OF、OE=BF，
则EF=OF-OE=BF-AE；
综上，EF=|AE-BF|．

点评本题主要考查一次函数的综合、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握待定系数法求函数的解析式及两直线相交的问题是解题的根本，构建全等三角形将分散的线段转移到同一条直线上是解题的关键．

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