Question

如图，以O为圆心的弧

BD

度数为60°，∠BOE=45°，DA⊥OB，EB⊥OB．
（1）求

BE

DA

的值；
（2）若OE与

BD

交于点M，OC平分∠BOE，连接CM．说明CM为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若BC=1，求tan∠BCO的值．

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）求出OB=BE，在Rt△OAD中，sin∠AOD=

AD

OD

=

3

2

，代入求出即可；
（2）求出∠BOC=∠MOC，证△BOC≌△MOC，推出∠CMO=∠OBC=90°，根据切线的判定推出即可；
（3）求出CM=ME，MC=BC，求出BC=MC=ME=1，在Rt△MCE中，根据勾股定理求出CE=

2

，求出OB=

2

+1，解直角三角形得出tan∠BCO=

2

+1，即可得出答案．

解答：解：（1）∵EB⊥OB，∠BOE=45°，
∴∠E=45°，
∴∠E=∠BOE，
∴OB=BE，
在Rt△OAD中，sin∠AOD=

AD

OD

=

3

2

，
∵OD=OB=BE，
∴

BE

DA

=

2

3

=

2 3

3

；

（2）∵OC平分∠BOC，
∴∠BOC=∠MOC，
在△BOC和△MOC中，

OB=OM ∠BCO=∠MOC OC=OC

∴△BOC≌△MOC（SAS），
∴∠CMO=∠OBC=90°，
又∵CM过半径OM的外端，
∴CM为⊙O的切线；

（3）由（1）（2）证明知∠E=45°，OB=BE，△BOC≌△MOC，CM⊥ME，
∵CM⊥OE，∠E=45°，
∴∠MCE=∠E=45°，
∴CM=ME，
又∵△BOC≌△MOC，
∴MC=BC，
∴BC=MC=ME=1，
∵MC=ME=1，
∴在Rt△MCE中，根据勾股定理，得CE=

2

，
∴OB=BE=

2

+1，
∵tan∠BCO=

OB

BC

，OB=

2

+1，BC=1，
∴tan∠BCO=

2

+1．

点评：本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，切线长定理等知识点的应用，综合性比较强，难度偏大．