Question

14．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD=∠CBA，证明FB∥AH，根据四点共圆得到∠EFD=∠GBD，求出tan∠GBD即可．

解答 解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=3，
由勾股定理得，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4，
$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$×AC×BD，即6×4=5×BD，
解得，BD=$\frac{24}{5}$，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，AD=$\frac{7}{5}$，
∵∠FBD=∠CBA，
∴∠FBE=∠DBC，
∵∠DBC+∠C=90°，∠HAC+∠C=90°，
∴∠FBE=∠BAH，
∴FB∥AH，
∴∠FBC=∠AHC=90°，
∴EF∥BC，
∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA，
∴AG=AE=BE-AB=BC-AB=1，
∴DG=$\frac{12}{5}$，
∴∠F=∠BDC=90°，
∴F、B、D、G四点共圆，
∴∠EFD=∠GBD，
tan∠GBD=$\frac{GD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EFD的正切值是$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．