已知线段AB.若点P在AB上且AP:PB=1:$\sqrt{2}$.则称点P为AB的“白银分割点．(1)如图1.△ABC为等腰直角三角形.∠A=90°.CP是角平分线.求证:点P是AB的“白银分割点．(2)四位同学分别设计了作AB“白银分割点 P的方法．①如图②.△ABC是等腰直角三角形.∠ABC=90°.D在AC上.P在AB上.CD=CB.AP=AD,②如图③.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．已知线段AB，若点P在AB上且AP：PB=1：$\sqrt{2}$，则称点P为AB的“白银分割点”．
（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，CP是角平分线，求证：点P是AB的“白银分割点”．
（2）四位同学分别设计了作AB“白银分割点”P的方法．
①如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，D在AC上，P在AB上，CD=CB，AP=AD；
②如图③，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P在AB上，BP=BC；
③如图④，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D在BA延长线上，AD=AB，E，P在DB上，DE=EP=AC；
④如图⑤，四边形ABCD是正方形，E，F分别在CD，BC上，CE：CF=1：$\sqrt{2}$，四边形EFGH是正方形，射线CG交AB于P．
这四位同学作图正确的是③④．（填写题号）
（3）如图⑥，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，请你设计一种方法，画出AB的“白银分割点”P．（工具不限，写出画法，不需证明）

分析（1）如图①，过P作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到∠B=45°，推出△PBD是等腰直角三角形，得到PD：PB=1：$\sqrt{2}$，根据角平分线的性质得到PA=PD，于是得到结论；
（2）①由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AC=$\sqrt{2}$AB，设AP=AD=x，PB=y，求得$\frac{x}{y}$=1，得到AP：PB=1：1，于是得到这位同学的作图错误；
②根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，AB=$\sqrt{2}$BC，设AP=x，PB=BP=y，则AB=x+y，得到AP：PB=$\sqrt{2}$-1，于是得到这位同学的作图错误；
③根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，设AP=x，PB=y，得到$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，于是得到这位同学的作图正确；
④根据已知条件得到设CE=1，CF=$\sqrt{2}$，过G作GH⊥BC于H，于是得到FH=CE=1，HG=CF=$\sqrt{2}$，设PA=x，PB=y，根据相似三角形的性质得到$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，于是得到这位同学的作图正确；
（3）作∠CAB的角平分线AH交BC于H，过H作HP∥AC交AB于P，于是得到AP：PB=1：$\sqrt{2}$，即可得到结论．

解答解：（1）如图①，过P作PD⊥BC于D，
∵，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，
∴∠B=45°，
∴△PBD是等腰直角三角形，
∴PD：PB=1：$\sqrt{2}$，
∵CP是角平分线，
∴PA=PD，
∴PA：PB=1：$\sqrt{2}$，
∴点P是AB的“白银分割点”；

（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC，AC=$\sqrt{2}$AB，
设AP=AD=x，PB=y，
则AB=BC=x+y，AC=$\sqrt{2}$（x+y），
∵AC=AD+CD=AP+BC=2x+y，
∴$\sqrt{2}$（x+y）=2x+y，
∴$\frac{x}{y}$=1，
∴AP：PB=1：1，
∴这位同学的作图错误；

②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，AB=$\sqrt{2}$BC，
设AP=x，PB=BP=y，
则AB=x+y，
∴x+y=$\sqrt{2}$
∴x：y=$\sqrt{2}$-1，
∴AP：PB=$\sqrt{2}$-1，
∴这位同学的作图错误；

③∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
设AP=x，PB=y，
∴AD=AB=x+y，
∴PD=2x+y，
∴AC=$\frac{PD}{2}$=$\frac{2x+y}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y），
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴这位同学的作图正确；

④∵CE：CF=1：$\sqrt{2}$，
∴设CE=1，CF=$\sqrt{2}$，
过G作GH⊥BC于H，
则△CEF≌△HGF，
∴FH=CE=1，HG=CF=$\sqrt{2}$，
设PA=x，PB=y，
∴BC=AB=x+y，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CPB，
∴$\frac{HG}{PB}=\frac{CH}{BC}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{y}=\frac{\sqrt{2}+1}{x+y}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴这位同学的作图正确；
故答案为：③④；

（3）作∠CAB的角平分线AH交BC于H，过H作HP∥AC交AB于P，
则AP：PB=1：$\sqrt{2}$，
即点P是AB的“白银分割点”．

点评本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解“白银分割点”是解题的关键．

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