如图.一次函数y1=k1x+b 与反比例函数y2=$\frac{{k} {2}}{x}$ 的图象交于点A.与y轴交于点C．(1)y1=x+4.y2=$\frac{12}{x}$,(2)根据函数图象可知.当 y1＜y2时.x的取值范围是x＜-6或0＜x＜2,(3)过点A作AD⊥x轴于点D.求△ABD的面积和周长．(4)点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，一次函数y₁=k₁x+b 与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$ 的图象交于点A（2，m）和B（-6，-2），与y轴交于点C．
（1）y₁=x+4，y₂=$\frac{12}{x}$；
（2）根据函数图象可知，当 y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜-6或0＜x＜2；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，求△ABD的面积和周长．
（4）点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，∠POD≤45°，P、O两点之间距离是5，在象限角平分线上有一点Q，且线段QP与QA和最小，求点Q的坐标．

分析（1）由点B的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；由点A在反比例函数图象上结合点A的横坐标即可得出点A的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式的解；
（3）连接BD，由点A的坐标可求出D点的坐标，由两点间的距离公式即可求出AD、AB、BD的长度，从而可求出△ABD的周长，再根据三角形的面积公式即可求出△ABD的面积；
（4）过点O作第一三象限的角平分线l，连接AP交直线l于点Q，此时PQ+AQ最短，根据OP=5以及点P在反比例函数图象上即可求出点P的坐标，由点A、P的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式，联立直线AP和l解析式成方程组，解方程组即可得出结论．

解答解：（1）∵点B（-6，-2）在反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$ 的图象上，
∴-2=$\frac{{k}_{2}}{-6}$，解得：k₂=12，
∴反比例函数解析式为y₂=$\frac{12}{x}$．
∵点A（2，m）在反比例函数y₂=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{12}{2}$=6，即A（2，6）．
将A（2，6）、B（-6，-2）代入y₁=k₁x+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+b=6}\\{-6{k}_{1}+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数y₁=x+4．
故答案为：x+4；$\frac{12}{x}$．
（2）观察函数图象，发现：
当x＜-6或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当 y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜-6或0＜x＜2．
故答案为：x＜-6或0＜x＜2．
（3）连接BD，如图1所示．
∵点A（2，6），
∴点D（2，0），
∴AB=8$\sqrt{2}$，AD=6，BD=2$\sqrt{17}$，
∴C_△ABD=AB+BD+AD=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{17}$+6．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×6×[2-（-6）]=24．
（4）过点O作第一三象限的角平分线l，连接AP交直线l于点Q，此时PQ+AQ最短，如图2所示．
∵直线l为第一三象限的角平分线，
∴直线l的解析式为y=x．
设点P的坐标为（m，n）（0＜n＜m），
∵点P在反比例函数y₂=$\frac{12}{x}$的图象上，且OP=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=12}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=25}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=4}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-3}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-4}\end{array}\right.$（舍去），
∴点P（4，3）．
设直线AP的解析式为y=ax+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{6=2a+c}\\{3=4a+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+9．
联立直线AP、l的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+9}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{18}{5}}\end{array}\right.$．
故点Q的坐标为（$\frac{18}{5}$，$\frac{18}{5}$）．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面以及周长，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象的上下位置关系解决不等式；（3）求出线段AD、AB、BD的长度；（4）找出点Q的位置．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．

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