Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O．
（1）如果∠ABC=40°，求∠ADC，∠BCD的度数．
（2）如果AD=20，AC=18，BD=26，求△OBC的周长．
（3）如果AB=10，AC=12，BD=16，这个平行四边形是菱形吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质，邻角互补，对角相等；
（2）根据平行四边形的性质，对角线互相平分得出OC，OB；
（3）根据平行四边形的性质，对角线互相平分得出OA，OB，再由勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形，根据对角线垂直的平行四边形为菱形得出结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC=40°，
∴∠ADC=40°，∠BCD=140°；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，OB=

1

2

BD，OC=

1

2

AC，
∵AC=18，BD=26，
∴OB=13，OC=9，
∵AD=20，
∴△OBC的周长为20+13+9=42；

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=

1

2

BD，OA=

1

2

AC，
∵AB=10，AC=12，BD=16，
∴OA=6，OB=8，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB为直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形．

点评：本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定，是基础知识要熟练掌握．