Question

设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜1＜x₂，那么实数a的取值范围是（　　）

• A、a＜-

  2

  11

• B、

  2

  7

  ＜a＜

  2

  5

• C、a＞

  2

  5

• D、-

  2

  11

  ＜a＜0

Answer 1

分析：根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x₁＜1＜x₂，即（x₁-1）（x₂-1）＜0，x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．

解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，
则△＞0，
∴（a+2）²-4a×9a=-35a²+4a+4＞0，
解得-

2

7

＜a＜

2

5

，
∵x₁+x₂=-

a+2

a

，x₁x₂=9，
又∵x₁＜1＜x₂，
∴x₁-1＜0，x₂-1＞0，
那么（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
即9+

a+2

a

+1＜0，
解得-

2

11

＜a＜0，
最后a的取值范围为：-

2

11

＜a＜0．
故选D．

点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
2、根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．