Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：
①∠EAF=45°；②EF=ED；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²．
其中正确的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：①根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ABF和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠CAD，然后求出∠EAF=45°；
②根据旋转得出△DAC≌△FAB，得出AD=AF，∠DAC=∠FAB，求出∠FAE=∠DAE，证出△FAE≌△DAE即可；
③④据勾股定理与等量代换可得④正确；由三角形的三边关系可得③错误．

解答：解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF=∠CAD，AF=AD，BF=CD，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠CAD+∠BAE=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°；①正确
∵△DAC≌△FAB，
∴AD=AF，∠DAC=∠FAB，
∴∠FAD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAC+∠BAE=∠FAB+∠BAE=∠FAE=45°，
在△FAE和△DAE中

DA=FA ∠DAE=FAE AE=AE

∴△FAE≌△DAE，
∴EF=ED．②正确．
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠BAF=CAD，AF=AD，BF=CD，∠ABF=∠C=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠EAD，∠EBF=90°，
∴△AED≌△AEF，BE²+BF²=EF²，BE＞EF-BF，
∴BE²+DC²=DE²；④正确
∴BE＞EF-DC．③错误．
∴正确的选项是：②②④3个．
故选：C．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理．