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如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD分别与AE、AF相交于G、H.

(1)在图中找出与△ABE相似的三角形,并说明理由;

(2)若AG=AH,求证:四边形ABCD是菱形.

(1)△ABE∽△ADF.(2)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)由平行四边形ABCD知:∠ABE=∠ADF;由AE⊥BC,AF⊥CD得:∠AEB=∠AFD.从而△ABE∽△ADF;

(2)由(1)得∠BAG=∠DAH.因为AG=AH,得∠AGH=∠AHG.所以∠ABG=∠ADH.故AB=AD; 又四边形ABCD是平行四边形,从而得证.

试题解析:(1)△ABE∽△ADF.

理由如下:∵AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,

∴∠AEB=∠AFD=90°.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠ABE=∠ADF.

∴△ABE∽△ADF.

(2)证明: ∵AG=AH,

∴∠AGH=∠AHG.

∴∠AGB=∠AHD.

∵△ABE∽△ADF,

∴∠BAG=∠DAH.

∴∠BAG≌∠DAH.

∴AB=AD

∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD

∴平行四边形ABCD是菱形.

考点:1.相似三角形的判定与性质,2. 菱形的判定.

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