Question

20．如图，在?ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则E到DF的距离是$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH=1，EH=$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式求△DFH的面积，由余弦定理求得DF，再根据三角形面积公式即可求出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AB∥CD，AB=CD=3，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=2，
∵∠B=60°，EF⊥AB，
∴∠FEB=30°，
∴BF=1，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{3}$，
∵AB∥CD，
∴△BFE∽△CHE，
∴$\frac{EF}{EH}$=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{BF}{CH}$=1，
∴EF=EH=$\sqrt{3}$，CH=BF=1，
∵DF=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
∵S_△DHF=$\frac{1}{2}$DH•FH=$\frac{1}{2}$×（1+3）×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$S_△DHF=2$\sqrt{3}$，
设E到DF的距离是h，
∵DF²=AF²+AD²-2AF•ADcos120°=2²+4²+2×2×4×$\frac{1}{2}$=28，
∴DF=2$\sqrt{7}$，
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF•h，
即2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$h，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．