Question

如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．

（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE= 60°，OD=，求PO的长．

Answer 1

（1）证明见解析;（2）PA=1,过程见解析．

试题分析：（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可,要证是直线PD是为⊙O的切线，需证∠PDO=90°,因为AB为直径，所以∠ADO+∠ODB=90°，由∠PDA=∠PBD=∠ODB可得∠ODA+∠PDA=90°，即∠PDO=90°;（2）根据已知可证△AOD为等边三角形，∠P=30°,在Rt△POD中运用三角函数可求解．
试题解析：（1）PD是⊙O的切线．理由如下：
∵AB为直径，
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∵∠PDA=∠PBD=∠ODB，
∴∠ODA+∠PDA=90°,即∠PDO=90°,
∴PD是⊙O的切线;,
（2）∵∠BDE=60°，∠ADB=90°，
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°，
又PD为半圆的切线，所以∠PDO=90°，
∴∠ADO=60°，又OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，∠AOD=60°．
在Rt△POD中，PD=，
∴OD=1，OP=2，
PA=PO-OA=2-1=1．