Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，过点D作线段DF被BC垂直平分，点E为垂足．连接BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）在DE²=BE•CE时，四边形ABFC是矩形．请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵BC垂直平分DF，
∴CD=CF，
∴∠DCE=∠FCE，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCE，AB=CF，
∴∠ABC=∠FCE，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵BC垂直平分DF，
∴DE=EF，∠BEF=∠FEC=90°，
∵DE²=BE•CE，
∴EF²=BE•CE，
∴，
∴△BEF∽△FEC，
∴∠EBF=∠EFC，
∵∠EBF+∠BFE=90°，
∴∠EFC+∠BFE=90°，
即∠BFC=90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形．
分析：（1）由BC垂直平分DF与梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，易证得AB∥CF，AB=CF，即可证得四边形ABFC是平行四边形；
（2）由DE²=BE•CE，可得EF²=BE•CE，即可证得△BEF∽△FEC，则可得∠BFC=90°，即可证得四边形ABFC是矩形．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．