Question

抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点A（-3

3

，0），B（

3

，0）与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D，在△BCD中，边CD的高为h．
（1）若c=ka，求系数k的值；
（2）当∠ACB=90°，求a及h的值；
（3）当∠ACB≥90°时，经过探究、猜想请你直接写出h的取值范围．
（不要求书写探究、猜想的过程）

Answer 1

分析：（1）由于A、B是抛物线与x轴的两个交点，可用交点式表示该抛物线的解析式，展开后即可得到c、a的关系式，进而可判断出k的值．
（2）若∠ACB=90°，根据射影定理即可求得OC的长，从而得到C点的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而可求得顶点D的坐标；过D作DE⊥y轴于E，过B作BF⊥CH于F，那么BF就是所求的h，延长DC交x轴于H，易证得△DCE∽△HCO，根据得到的比例线段，可求得OH的长，从而得到BH的值，易求得∠OHC的度数，在Rt△BFH中，通过解直角三角形即可求得BF的长即h的值．
（3）∠ACB≥90°时，h随∠ACB度数的增大而减小，由此可确定h的取值范围．

解答：解：（1）因为A（-3

3

，0），B（

3

，0）在抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）上，
所以有，y=a（x+3

3

）（x-

3

）=a（x2+2

3

x-9），
又因为c=-9a
所以k=-9．

（2）由于∠ACB=90°时，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°．
可得∠ACO=∠OBC．
∴△AOC∽△COB．
∴

AO

OC

=

OC

OB

，
即OC²=OA•OB=3

3

×

3

=9．
∴OC=3．
∵C（0-3），由（1）知-9a，
∴a=

1

3

．
过D作DE⊥OC交y轴于点E，延长DC交x轴于点H，过B作BF⊥CH于点F．
即BF是边DC的高h．
因为D是抛物线的顶点，
所以D（-

3

，-4），
故OE=4，又OC=3，可得CE=1，DE=

3

．
易证△HCO∽△DCE，有

HO

DE

=

CO

EC

=

3

1

=3，
故OH=3DE=3

3

，BH=OH-OB=2

3

．
由于∠COH=90°，OC=3，OH=3

3

，由勾股定理知CH=6，有∠OHC=30°，
又因为在Rt△BHF中，BH=2

3

，
所以BF=

3

，即h=

3

．

（3）当∠ACB≥90°时，猜想0＜h≤

3

．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识的综合应用；（2）题中，能够根据已知条件正确的构造与所求相关的相似三角形，是解决问题的关键．