Question

【题目】阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”

如图1，，其中，，此时，点与点重合，

操作探究1:（1）小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．

操作探究2:（2）小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：

①时，求证：为等边三角形；

②当__________时，．（直接回答即可）

操作探究3:（3）小颖将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：

①如图4，当时，直接写出线段的长为_________．

②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长为____________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3）①；②

【解析】

（1）证明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解决问题．
（2）①证明∠FCE=∠FEC=60°即可解决问题．
②根据平行线的判定定理即可解决问题．
（3）①连接EC，证明△AEC是等边三角形，利用勾股定理求出AE即可解决问题．
②如图5中，连接AF，BD交于点O．首先证明EC=BD，再证明OB=OD，利用面积法求出OB即可解决问题．

（1）证明：如图2，

，，，

，

．

（2）①证明：如图3中，

，，

，

，

，

，

是等边三角形．

②解：当时，．理由如下：

∵，

∴，

，

∴，

当时，．

故答案为．

（3）①解：如图4中，连接,

，，

是等边三角形，

，，

，

．

故答案为．

②解：如图5中，连接，交于点．

，，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

．

，，

垂直平分线段，

，

在中，

，，，

，

，

，

，

，

故答案为．