Question

20．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕交BC于M，交AC于O，交AD于N，求：
（1）OM的长；
（2）S_△COM：S_矩形ABCD的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理可求得AC=10，由翻折的性质可知：OA=OC=5，AC⊥MN，然后根据△OCM∽△BCA，从而可求得OM的长；
（2）然后根据三角形的面积公式和矩形的面积公式求得S_△COM与S_矩形ABCD的值即可求得答案．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
由翻折的性质可知：OA=OC=5，AC⊥MN．
∵∠COM=∠B=90°，∠OCM=∠BCA，
∴△OCM∽△BCA．
∴$\frac{OM}{AB}=\frac{OC}{BC}$，即$\frac{OM}{6}=\frac{5}{8}$．
解得：OM=$\frac{15}{4}$．
（2）△OCM的面积=$\frac{1}{2}OC•OM=\frac{1}{2}×5×\frac{15}{4}$=$\frac{75}{8}$．
矩形ABCD的面积=6×8=48．
∴S_△COM：S_矩形ABCD=$\frac{75}{8}：48$=25：128．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握相关定理是解题的关键．