Question

6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A₁B₁C，当A₁落在AB边上时，连接B₁B，取BB₁的中点D，连接A₁D，则A₁D的长度是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 首先证明△ACA₁，△BCB₁是等边三角形，推出△A₁BD是直角三角形即可解决问题．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴∠A=90°-∠ABC=60°，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，
∵CA=CA₁，
∴△ACA₁是等边三角形，AA₁=AC=BA₁=2，
∴∠BCB₁=∠ACA₁=60°，
∵CB=CB₁，
∴△BCB₁是等边三角形，
∴BB₁=2$\sqrt{3}$，BA₁=2，∠A₁BB₁=90°，
∴BD=DB₁=$\sqrt{3}$，
∴A₁D=$\sqrt{{A}_{1}{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ACA₁，△BCB₁是等边三角形．