Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD=BC，∠ADC=45°，将腰AD绕A点逆时针旋转90°，得到AE，连接BE、DE、AC、BD．求证：四边形ACBE是平行四边形．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,平行四边形的判定

专题：证明题

分析：由等腰梯形的性质可知：AC=BD，由旋转的性质可知：AE=AD，∠EAD=90°，进而证明：∠BAE=∠BAD，由此可证明△ABE≌△ABD，所以BE=BD，所以四边形ACBE是平行四边形．

解答：证明：∵等腰梯形ABCD，AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD，
∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠ADC=45°，
∴∠BAD=135°，
∵腰AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠EAD=90°，
∴∠BAE=360°-∠BAD-∠EAD=135°，
∴∠BAE=∠BAD，
∵AB=AB，
在△ABE和△ABD中，

AE=AD ∠BAE=∠BAD AB=AB

，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=DB，
∴BE=AC，
∵AE=BC，
∴四边形ACBE是平行四边形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，题目的综合性较强，难度中等．