如图.在平面直角坐标系xOy中.点O为坐标原点.正方形OABC的边OA.OC分别在x轴.y轴上.点B的坐标为(4.4).反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过线段BC的中点D.交正方形OABC的另一边AB于点E．(1)求k的值,(2)如图①.若点P是x轴上的动点.连接PE.PD.DE.当△DEP的周长最短时.求点P的坐标,在该反比例函数的图象上运动.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（4，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D，交正方形OABC的另一边AB于点E．

（1）求k的值；
（2）如图①，若点P是x轴上的动点，连接PE，PD，DE，当△DEP的周长最短时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点Q（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点Q作OM⊥y轴，垂足为M，作QN⊥BC所在直线，垂足为N，记四边形CMQN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．

分析（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；
（2）根据轴对称的性质找到点P的位置：作点E关于x轴的对称点E′，连接DE′，交x轴于点P，求得直线DE′与x轴的交点坐标即可；
（3）分两步进行解答，①当Q在直线BC的上方时，即0＜x＜2，如图1，根据S_{四边形CMQN}=CN•QD列出S关于x的解析式，②当Q在直线BC的下方时，即x＞2，如图2，依然根据S_{四边形CMQN}=CN•QD列出S关于x的解析式．

解答解：（1）如图①，∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4），
∴C（0，4），
∵D是BC的中点，
∴D（2，4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的图象经过点D，
∴k=8；

（2）如图①，作点E关于x轴的对称点E′，连接DE′，交x轴于点P，
把x=4代入y=$\frac{8}{x}$，得y=2，则E（4，2）．
故点E关于x轴对称的点E′（4，-2）．
设直线DE′的方程为y=kx+b（k≠0）．
将D（2，4），E′（4，-2）分别代入得到：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=10}\end{array}\right.$．
故直线DE′的方程为y=-3x+10．
当y=0时，x=$\frac{10}{3}$，
即P（$\frac{10}{3}$，0）；

（3）如图②，当Q在直线BC的上方时，即0＜x＜2，
如图1，∵点Q（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y=$\frac{8}{x}$，
∴S_{四边形CMQN}=CN•QD=x•（ $\frac{8}{x}$-4）=8-4x（0＜x＜2），

如图③，当Q在直线BC的下方时，即x＞4，同理求出S_{四边形CMQN}=CN•QD=x•（4-$\frac{8}{x}$）=4x-8（x＞2），
综上S=$\left\{\begin{array}{l}{8-4x（0＜x＜2）}\\{4x-8（x＞2）}\end{array}\right.$．

点评本题主要考查反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答（3）问的函数解析式需要分段求，此题难度不大

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