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7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A,与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴,交抛物线于点C,过点A作AD∥y轴,交BC于点D,点P在BC下方的抛物线上(P不与B,C重合),连结PC,PD,则△PCD面积的最大值是4.

分析 根据抛物线的解析式求得A、B的坐标,和对称轴方程,根据BC∥x轴,AD∥y轴对称B、C是抛物线上的对称点,所以BD=DC=2,因为顶点A到直线BC的距离最大,所以点P与A重合时,△PCD面积最大,最大值为$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4.

解答 解:∵抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A,与y轴交于点B.
∴A(2,0),B(0,4),
∵抛物线y=(x-2)2与的对称轴为x=2,BC∥x轴,AD∥y轴,
∴直线AD就是抛物线y=(x-2)2与的对称轴,
∴B、C关于直线AD对称,
∴BD=DC=2,
∵顶点A到直线BC的距离最大,
∴点P与A重合时,△PCD面积最大,最大值为$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4.
故最大值为4.

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,求得点P与A重合时,△PCD面积最大是解题的关键.

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