Question

13．如图，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程；
（3）画出P点的位置，使得△BCP为等腰三角形 （保留作图） 

Answer 1

分析 （1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分三种情况讨论；

解答 解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴2t=12，
∴t=6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CA+AP=8+5=13（cm），
∴2t=13，
∴t=6.5；
（3）分三种情况：①CP=CB时，如图1所示，
有两个点，分别在AC和AB上；
②PC=PB时，如图2所示，P在AB上，是BC的垂直平分线与AB的交点；
③BC=BP时，如图2所示，P在AB上；
综上所述：使得△BCP为等腰三角形的P有4个．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．