Question

8．已知在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，点C为线段AB的中点，连接CD．
（1）过点O，C，D的抛物线的表达式是y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{7}{3}$x．
（2）若抛物线y=ax²+x与线段CD有公共点，则a的范围是-$\frac{1}{4}$≤a≤2且a≠0．

Answer 1

分析 （1）求出O、C、D三点的坐标后，然后根据待定系数法即可求出该抛物线的解析式
（2）将x轴往上平移1个单位，抛物线y=ax²+x与线段CD有公共点可化为抛物线y=ax²+x-1在$\frac{1}{2}$≤x≤3上与x轴有交点，从而可求出a的范围．

解答 解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．
∵∠ABO+∠BAO=90°，∠ABO+∠ABD+∠DBE=180°，∠ABD=90°，
∴∠BAO=∠DBE．
在△BAO和△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BED=90°}\\{∠BAO=∠DBE}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△DBE（AAS），
∴BE=AO=2，DE=BO=1，OE=OB+BE=3，
∴点D（3，1）．
∵点C为线段AB的中点，A（0，2），B（1，0），
∴点C（$\frac{1}{2}$，1）．
设过点O，C，D的抛物线的表达式为y=mx²+nx+q（m≠0），
将O（0，0）、C（$\frac{1}{2}$，1）、D（3，1）代入y=mx²+nx+q，
$\left\{\begin{array}{l}{q=0}\\{\frac{1}{4}m+\frac{1}{2}n+q=1}\\{9m+3n+q=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=\frac{7}{3}}\\{q=0}\end{array}\right.$，
∴过点O，C，D的抛物线的表达式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{7}{3}$x．
故答案为：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{7}{3}$x．

（2）∵C（$\frac{1}{2}$，1）、D（3，1），
∴直线CD的表达式为y=1．
将x轴往上平移1个单位，
此时可设抛物线的解析式为：y=ax²+x+c
此时抛物线过点（0，-1）
∴c=-1，
∴将x轴往上平移1个单位后，抛物线的解析式为：y=ax²+x-1
∴抛物线y=ax²+x与线段CD有公共点可化为抛物线y=ax²+x-1在$\frac{1}{2}$≤x≤3上与x轴有交点，
∴令x=$\frac{1}{2}$代入抛物线y=ax²+x-1，
∴y=$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}-1$=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$
令x=3代入抛物线y=ax²+x-1，
∴y=9a+2
当抛物线y=ax²+x-1的对称轴不在$\frac{1}{2}$≤x≤3上时，
此时x轴有一个交点时，
∴（$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$）（9a+2）≤0，
∴-$\frac{2}{9}$≤a≤2，
当抛物线y=ax²+x-1的对称轴在$\frac{1}{2}$≤x≤3上时，
当抛物线与x轴有一个交点时，
此时△=0，
∴a=-$\frac{1}{4}$
当抛物线与x轴有两个交点时，
$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{1}{2}≤-\frac{1}{2a}≤1}\\{（\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}）（9a+2）≥0}\end{array}\right.$
解得：-$\frac{1}{4}$＜a＜-$\frac{2}{9}$
∵综上所述，a≠0，
当抛物线y=ax²+x与线段CD有公共点时，-$\frac{1}{4}$≤a≤2且a≠0，
故答案为：（1）y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{7}{3}$x；（2）-$\frac{1}{4}$≤a≤2且a≠0

点评 本题考查抛物线的综合问题，解题的关键是熟练运用 待定系数法以及抛物线的图象变换的特征，本题属于难题．