Question

5．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，点D、E分别在BC、AB上，CD=2BD，BE=3AE，DE、CA的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：∠BED=∠C；
（2）设AC=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
（3）当△BDE与△FAE相似时，求△BCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得△EBD∽△CBA，进而得出对应角相等；
（2）根据△EBD∽△CBA，得出$\frac{ED}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{y}{x}$=$\frac{3}{6}$，可得y关于x的函数解析式y=$\frac{1}{2}$x，根据三角形三边关系可得2＜x＜10；
（3）根据∠BED=∠AEF，∠FAE＞∠EBD，可得当△BDE与△FAE相似时，∠EBD=∠EFA，进而得到∠BDE=∠FAE，再根据∠BDE=∠BAC，即可得到∠FAE=∠BAC=∠BDE=90°，即FD⊥BC，再根据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得出DF的长，进而得到△BCF的面积．

解答 解：（1）∵BE=3AE，CD=2BD，AB=4，BC=6，
∴AE=1，BE=3，BD=2，CD=4，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，
∵∠EBD=∠CBA，
∴△EBD∽△CBA，
∴∠BED=∠C；
（2）由（1）知，△EBD∽△CBA，
∴$\frac{ED}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，
即$\frac{y}{x}$=$\frac{3}{6}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x（2＜x＜10）；
（3）∵∠BED=∠AEF，∠FAE＞∠EBD，
∴当△BDE与△FAE相似时，∠EBD=∠EFA，
∴∠BDE=∠FAE，
又∵△EBD∽△CBA，
∴∠BDE=∠BAC，
∴∠FAE=∠BAC，
又∵∠FAE+∠BAC=180°，
∴∠FAE=∠BAC=∠BDE=90°，
即FD⊥BC，
∴Rt△BDE中，DE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由△BDE∽△FAE，可得$\frac{FE}{BE}$=$\frac{AE}{DE}$，
即$\frac{FE}{3}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$，
∴△BCF的面积=$\frac{1}{2}$DF×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}\sqrt{5}$×6=$\frac{24}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用以及三角形面积的计算，解题时注意：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．解决第（3）问的关键是依据相似三角形的对应角相等得出∠FAE=∠BAC=∠BDE=90°．