分析 (1)首先连接OE,由$\widehat{ED}$=$\widehat{BE}$,OD∥BF,易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°,又由CF⊥AB,即可求得∠F的度数;
(2)作OH⊥BE,垂足为H,易得△HBO≌△COD,即可得CO=BH=x,求得BE=2x,易得△COD∽△CBF,然后由相似三角形的对应边成比例,可得$\frac{4}{2x+y}$=$\frac{x}{x+4}$,则可求得y与x之间的函数解析式;
(3)由∠COD=∠OBE,∠OBE=∠OEB,∠DOE=∠OEB,可得∠COD=∠DOE,即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上,然后分别从PB=PE,EB=EP,BE=BP去分析求解即可求得答案.
解答 解:(1)如图1,连接OE.
∵$\widehat{ED}$=$\widehat{BE}$,
∴∠BOE=∠EOD
∵OD∥BF,
∴∠DOE=∠BEO,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°,
∵CF⊥AB,
∴∠FCB=90°,
∴∠F=30°;
(2)如图1,作OH⊥BE,垂足为H.
在△HBO和△COD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠OHB=90°}\\{∠OBE=∠COD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$,
∴△HBO≌△COD(AAS),
∴CO=BH=x,
∴BE=2x,
∵OD∥BF,
∴△COD∽△CBF,
∴$\frac{OD}{BF}$=$\frac{OC}{BC}$,
∴$\frac{4}{2x+y}$=$\frac{x}{x+4}$,
∴y=$\frac{4x+16-2{x}^{2}}{x}$(0<x<4);
(3)∵∠COD=∠OBE,∠OBE=∠OEB,∠DOE=∠OEB,
∴∠COD=∠DOE,
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上,
若△PBE为等腰三角形,
设CO=x,
∴OP=OC=x,
则PE=OE-OP=4-x,
由(2)得:BE=2x,
①当PB=PE,不合题意舍去;
②当EB=EP,2x=4-x,
解得:x=$\frac{4}{3}$,
③如图2,当BE=BP,作BM⊥OE,垂足为M,
∴EM=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{4-x}{2}$,
∴∠OEB=∠COD,∠BME=∠DCO=90°,
∴△BEM∽△DOC,
∴$\frac{BE}{DO}$=$\frac{EM}{OC}$,
∴$\frac{2x}{4}$$\frac{\frac{4-x}{2}}{x}$,
整理得:x2+x-4=0,
解得:x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$(负数舍去)
综上所述:当OC的长为$\frac{4}{3}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$时,△PBE为等腰三角形.
点评 此题考查了圆的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等性质.此题综合性较强,难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
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A. | 任意四边形 | B. | 平行四边形 | C. | 矩形 | D. | 菱形 |
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