Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=

4

3

x+8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x₀，0），其中x₀＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P₀，使P₀到点A与点C的距离之和最小；
（2）若△PAC周长的最小值为10+2

41

，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P₀HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的条件下，当S=

75

32

时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）

Answer 1

分析：（1）由题意A、B点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称轴的交点即为P₀；
（2）由（1）所求可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出x₀，而解得；
（3）由△OBC∽△CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到三角形MHP₀三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点．

解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
所以当y=0，则x=-6，
所以点A（-6，0）．
同理点C（0，8），
由题意，A、B是抛物线y=ax²+bx+8与x轴的交点，
∴-6，x₀是一元二次方程ax²+bx+8=0的两个根，
∴-6+x₀=-

b

a

，-6x₀=

8

a

，
∴a=-

4

3x0

，b=-

8

x0

+

4

3

．
∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P₀．
设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx₀+n=0，
∴m=-

8

x0

，n=8．
∴BC的解析式为y=-

8

x0

x+8．
∴当x=-

b

2a

=

-6+x0

2

时，y=

24

x0

+4，
∴P₀的坐标为（

-6+x0

2

，

24

x0

+4）；

（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10+2

41

，

62+82

+

x 2 0 +82

=10+2

41

，
解得x₀=10或x₀=-10（不符舍去），
则点B（10，0），
由点A，B，C三点的二次函数式为y=-

2

15

x2 +

8

15

x+8=-

2

15

（x-2）²+

128

15

．
顶点N（2，

128

15

）；

（3）如图，作MN⊥BC于点N，
则△OBC∽△NCM，
所以

h

10

=

2t

2 41

，
即h=

10 41 t

41

．
因为MH∥BC，
所以

8-2t

8

=

MH

BC

，
解得MH=

8-2t

8

BC=

8-2t

8

×2

41

=

41

4

(8-2t)，
S=

1

2

MH•h，
=

1

2

×

41

4

（8-2t）×

10 41 t

41

，
=10t-

5

2

t2，
因为每秒移动2个单位，
则当t=2时符合范围0＜t＜4，
所以当t为2时S最大为10；

（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，
从而得到点M的坐标，
S=

75

32

，即

75

32

=-

5

2

t²+10t，
则解得t₁=

1

4

，t₂=

15

4

．
则由题意知C、E、F三点所在圆半径为4，
所以直线CN与C、F、E所在圆相切．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题．