Question

20．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求tan∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求$\frac{AB-CD}{GH}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据中位线的性质得：EF∥AB，AB=2EF，则CD∥EF，由平行线的性质得：∠ODC=∠OFE，∠OEF=∠OCD，利用ASA证明△FOE≌△DOC；
（2）分别表示出EH和CH的长，在Rt△EHC中，根据正切的定义求出结论；
（3）由（2）得结论：$GE=\frac{1}{3}CD，EF=CD，FH=\frac{1}{3}CD$，分别表示AB的长，代入$\frac{AB-CD}{GH}$求值．

解答 证明：（1）∵线段OA，OB的中点分别为E，F，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，AB=2EF，
∵AB=2CD，
∴CD=EF，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠ODC=∠OFE，∠OEF=∠OCD，
在△OEF和△OCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ODC=∠OFE}\\{DC=EF}\\{∠OCD=∠OEF}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；
（2）由（1）得：△FOE≌△DOC，
∴OD=OF，
∵OF=BF，
∴OF=BF=OD，
∵FH∥CD，
∴△BFH∽△BDC，
∴$\frac{FH}{CD}=\frac{BF}{BD}$=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴FH=$\frac{1}{3}$CD，
∵EH=$EF+FH=CD+\frac{1}{3}CD=\frac{4}{3}CD$，
$CH=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}CD$，
在Rt△EHC中，$tan∠OEF=\frac{CH}{EH}=\frac{{\frac{2}{3}CD}}{{\frac{4}{3}CD}}=\frac{1}{2}$；
（3）由（2）得：$GE=\frac{1}{3}CD，EF=CD，FH=\frac{1}{3}CD$，
∴$GH=\frac{5}{3}CD$，
又∵AB=2EF=2CD，
∴$\frac{AB-CD}{GH}=\frac{2CD-CD}{{\frac{5}{3}CD}}=\frac{3}{5}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了三角形的中位线定理，直角梯形的性质、三角形相似和全等的性质和判定以及三角函数的知识，在计算一个角的三角函数或求线段的和差倍商时，可以确定一个中间量，即一条线段，根据相似或全等有关边的性质将所有线段表示成某条线段的倍数关系，再约分即可．