分析:首先作I
1E⊥AB于E,I
2F⊥AB于F.在直角三角形ABC中,利用勾股定理求得AB的值,再运用射影定理求得AD、BD的长.因为I
1E为直角三角形ACD的内切圆的半径,即可求得I
1E的值.连接DI
1、DI
2,则DI
1、DI
2分别是∠ADC和∠BDC的平分线,利用垂直的定义,可得到I
1D⊥I
2D.利用在直角三角形中,直角边也对应角的关系,求得DI
1、DI
2的值,进而求得I
1I
2的值.
解答:
解:作I
1E⊥AB于E,I
2F⊥AB于F,
在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=
=5,
又∵CD⊥AB,由射影定理可得AD=
=
,
∴BD=AB-AD=
,CD=
=
,
∵I
1E为直角三角形ACD的内切圆的半径,
∴I
1E=
(AD+CD-AC)=
,
连接DI
1、DI
2,则DI
1、DI
2分别是∠ADC和∠BDC的平分线,
∵∠I
1DC=∠I
1DA=∠I
2DC=∠I
2DB=45°,
∴∠I
1DI
2=90°,
∴I
1D⊥I
2D,DI
1=
=
=
,
同理,可求得I
2F=
,DI
2=
,
∴I
1I
2=
=
.
点评:本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形.解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I
1、I
2的半径,再利用勾股定理求得DI
1、DI
2,最后在证明I
1D⊥I
2D的基础上求得I
1I
2的值.