Question

如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，∠B=90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

Answer 1

分析：（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC²+CD²=AD²，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°；
（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以100，即可求总花费．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=3m，BC=4m，∠B=90°，AB²+CB²=AC²
∴AC=5cm，
在△ACD中，AC=5cm CD=12m，DA=13m，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；

（2）∵S_△ABC=

1

2

×3×4=6，S_△ACD=

1

2

×5×12=30，
∴S_{四边形ABCD}=6+30=36，
费用=36×100=3600（元）．

点评：本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．