定义.如图1.点M.N把线段AB分割成AM.MN和BN.若以AM.MN.BN为边的三角形是一个直角三角形.则称点M.N为线段AB的勾股分割点．(1)已知点M.N是线段AB的勾股分割点.若AM=3.MN=5.求BN的长(2)如图2.在Rt△ABC中.AC=BC.点M.N在斜边AB上.∠MCN=45°.求证:点M.N是线段AB的勾股分割点,阳阳在解决第(2)小题时遇到了困难.陈老师对阳阳� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．定义，如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N为线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长
（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳在解决第
（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90度试试，请根据陈老师的提示完成证明过程．
（3）如图3，C是线段AB上的一定点，请在BC上画一点D，使C、D是线段AB的勾股分割点
（要求：完成尺规作图，保留作图痕迹，并在右侧分步写出作图步骤）

分析（1）分两种切线利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题；

解答（1）解：当MN最长时，BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=4；
当BN最长时，BN=$\sqrt{A{M}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{34}$；

（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN
∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，
∴△ADC≌△BNC，
∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，
∵∠MCN=45°，
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°
∴∠MCD=∠BCM，
∴△MDC≌△MNC，
∴MD=MN

在Rt△MDA中，AD²+AM²=DM²，
∴BN²+AM²=MN²，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．

（3）作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图3中所示．

点评本题是三角形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案

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19．

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小华在这次活动中，两次购书总共付款263.5元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小华这两次购书原价的总和是310或340 元．

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B．

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