Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PB=2，PC=4，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∵∠COB为△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠OCA=∠PCB，
∵∠OCA=∠A，
∴∠PCB=∠A，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
又∵PB=2，PC=4，
∴==，即=，
则AB=6．
分析：（1）由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠COB为△AOC的外角，利用外角的性质得到∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，利用等量代换得到∠OCA=∠PCB，再由AB为圆的直径，利用直角所对的圆周角为直角得到一个角为直角，利用等量代换可得出∠PCO=90°，即PC与半径OC垂直，进而确定出PC为圆O的切线；
（2）由（1）得到∠OCA=∠PCB，等量代换得到∠PCB=∠A，再由∠P为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形PCB与三角形ACP相似，由相似得比例，将各自的值代入即可求出AB的长．
点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，利用了转化及等量代换的思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．