Question

已知α、β是关于x的方程x²+px+q=0的两个不相等的实数根，且α³-α²β-αβ²+β³=0，求证：p=0，q＜0．

Answer 1

证明：∵α、β是关于x的方程x²+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-p，αβ=q；
∵α³-α²β-αβ²+β³=0，
∴α³-α²β-αβ²+β³=（α-β）²（α+β）=0；
∵α、β是关于x的方程x²+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α≠β，
∴α-β≠0，
∴α+β=-p=0，△=p²-4q＞0；
∴p=0，-4q＞0，
∴q＜0．
分析：根据根与系数是关系求得α+β=-p，根据根的判别式求得△=p²-4q＞0；然后利用完全平方公式将α³-α²β-αβ²+β³=0变形得α³-α²β-αβ²+β³=（α-β）²（α+β）=0，所以α+β=-p=0，所以-4p＞0，即p＜0．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．