Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为4，则△ABC的周长是

 

．

Answer 1

分析：本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．

解答：解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
即：当PM+PN最小时P在AC的中点，
∴MN=

1

2

AC
∴PM=PN=2，MN=2

3

∴AC=4

3

，
AB=BC=2PM=2PN=4，
∴△ABC的周长为：4+4+4

3

=8+4

3

．
故答案为：8+4

3

．

点评：本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键．