Question

已知：如图，四边形ABCD是圆内接四边形，=，以AD为直径作⊙O交BA的延长线于E，交AC于F．
（1）求证：AE=AE；
（2）设AB=2，AC=7，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接DE、DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠E=90°，∠DFA=90°，
∵=，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠EAD=∠DAF，
在△ADE≌△ADF中

∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF；

（2）解：由（1）得DE=DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中

∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴EB=FC，
∴AE+AB=AC-AF．
由（1）知AE=AF，
∴AE+AB=AC-AE，
∴AE=（AC-AB）=（7-2）=．
分析：（1）连接DE、DF，根据直径所对的圆周角为直角由AD是⊙O的直径得到∠E=90°，∠DFA=90°，由=得∠DBC=∠DCB，又∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，则∠EAD=∠DAF，根据“AAS”可判断△ADE≌△ADF，所以AE=AF；
（2）先根据“HL”可判断Rt△DEB≌Rt△DFC，则EB=FC，AE+AB=AC-AF，于是AE+AB=AC-AE，然后把AB=2，AC=7代入计算即可．
点评：本题考查了圆周角定理及其讨论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．也考查了全等三角形的判定与性质．