Question

如图，已知⊙O₁、⊙O₂外切于点P，过P点的直线分别交⊙O₁、⊙O₂于B、A，⊙O₁的切线BN交⊙O₂于M、N，AC为⊙O₂的弦，AC交MN于D，若AP=3，BP=2，则AD•AC=（　　）

• A、6
• B、15
• C、10
• D、12

Answer 1

分析：过点P作两圆的切线EF，连接CP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．根据弦切角定理可以证明∠C=∠B，从而证明△APC∽△ADB，再根据相似三角形的性质即可证明．

解答：解：如图，过点P作两圆的切线EF，连接CP并延长交⊙O₁于点G，连接BG．
∴∠1=∠C，∠2=∠G．
∵⊙O₁的切线BN交⊙O₂于点M、N，
∴∠3=∠G．
又∠1=∠2，
∴∠C=∠3．
又∠CAP=∠BAD，
∴△APC∽△ADB．
∴

AP

AD

=

AC

AB

，
即AP•AB=AC•AD．
∵AP=3，BP=2，
∴AB=5，
∴AD•AC=3×5=15，
故选B．

点评：本题考查了两圆向外切的性质．作两圆的公切线是相切两圆中常见的辅助线之一．熟练运用弦切角定理、相似三角形的判定和性质，也是解决此类题目的关键．