Question

【题目】如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为的中点，DE垂直于AC的延长线于E，连结BC，若DE=6cm, CE=2cm，下列结论：①. DE是⊙O的切线；②. 直径AB长为20cm；③. 弦AC长为15cm；④. C为的中点.一定正确的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

连接OD，OC，交BC于点F，可证明DE∥BC，可判断A；在△OCF中，由垂径定理结合勾股定理可求得圆的半径，可判断B；由垂径定理可求得BC的长，结合B可判断C；由弧相等可得弦相等可判断D．

解：连接OD，OC．

∵D是弧BC的中点，

∴OD⊥BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵DE垂直于AC的延长线于E，

∴BC∥DE，

∴OD⊥DE,

∴DE是圆的切线．故①正确；

∵OD⊥BC，DE⊥CE，OD⊥DE,

∴四边形DECF是矩形，

∴DF=CE=2cm，CF=DE=6cm，

∴BC=2CF=12cm，

设半径为rcm，则OF=（r-2）cm，

在Rt△OCF中，

由勾股定理可得OC2=OF2+CF2，

即r2=（r-2）2+62，

解得r=10cm，

∴AB=20cm，

故②正确；

在Rt△ABC中，BC=12cm，AB=20cm，

∴AC= =16（cm），

故③不正确；

若C为弧AD的中点，则AC=CD，

在Rt△CDE中，CE=2cm，DE=6cm，由勾股定理可求得CD=2cm≠AC，

故④不正确；

故选： B．