Question

10．已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²=0的两个实数根的平方和是11，求k的值．

Answer 1

分析 设方程的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²，根据题意得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，即（2k+1）²-2k²=11，解得即可．

解答 解：设方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²，
∵x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，
∴（2k+1）²-2k²=11，解得k₁=-1$+\sqrt{6}$，k₂=-1-$\sqrt{6}$，
当k=-1+$\sqrt{6}$时，原方程中△=4$\sqrt{6}$-3＞0，此方程有两个不等实数根；
当k=-1-$\sqrt{6}$时，原方程中△=-4$\sqrt{6}$-3＜0，此方程无解，
∴k的值为-1+$\sqrt{6}$

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²解答．