Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₁，以A₁B、BA为邻边作?ABA₁C₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂，以A₂B₁、B₁A₁为邻边作?A₁B₁A₂C₂；…；按此作法继续下去，则C₂₀₁₇的坐标是（-$\sqrt{3}$×4²⁰¹⁶，4²⁰¹⁷）．

Answer 1

分析 先求出直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，设B点坐标为（x，1），根据直线l经过点B，求出B点坐标为（$\sqrt{3}$，1），解Rt△A₁AB，得出AA₁=3，OA₁=4，由平行四边形的性质得出A₁C₁=AB=$\sqrt{3}$，则C₁点的坐标为（-$\sqrt{3}$，4），即（-$\sqrt{3}$×4⁰，4¹）；根据直线l经过点B₁，求出B₁点坐标为（4$\sqrt{3}$，4），解Rt△A₂A₁B₁，得出A₁A₂=12，OA₂=16，由平行四边形的性质得出A₂C₂=A₁B₁=4$\sqrt{3}$，则C₂点的坐标为（-4$\sqrt{3}$，16），即（-$\sqrt{3}$×4¹，4²）；同理，可得C₃点的坐标为（-16$\sqrt{3}$，64），即（-$\sqrt{3}$×4²，4³）；进而得出规律，求得C_n的坐标是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ），即可求得C₂₀₁₇的坐标．

解答 解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，解得x=$\sqrt{3}$，
∴B点坐标为（$\sqrt{3}$，1），AB=$\sqrt{3}$．在Rt△A₁AB中，∠AA₁B=90°-60°=30°，∠A₁AB=90°，
∴AA₁=$\sqrt{3}$AB=3，OA₁=OA+AA₁=1+3=4，
∵?ABA₁C₁中，A₁C₁=AB=$\sqrt{3}$，
∴C₁点的坐标为（-$\sqrt{3}$，4），即（-$\sqrt{3}$×4⁰，4¹）；
由$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4，解得x=4$\sqrt{3}$，
∴B₁点坐标为（4$\sqrt{3}$，4），A₁B₁=4$\sqrt{3}$．
在Rt△A₂A₁B₁中，∠A₁A₂B₁=30°，∠A₂A₁B₁=90°，
∴A₁A₂=$\sqrt{3}$A₁B₁=12，OA₂=OA₁+A₁A₂=4+12=16，
∵?A₁B₁A₂C₂中，A₂C₂=A₁B₁=4$\sqrt{3}$，
∴C₂点的坐标为（-4$\sqrt{3}$，16），即（-$\sqrt{3}$×4¹，4²）；
同理，可得C₃点的坐标为（-16$\sqrt{3}$，64），即（-$\sqrt{3}$×4²，4³）；
以此类推，则C_n的坐标是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ），
∴C₂₀₁₇的坐标是（-$\sqrt{3}$×4²⁰¹⁶，4²⁰¹⁷）．
故答案为（-$\sqrt{3}$×4²⁰¹⁶，4²⁰¹⁷）．

点评 本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出C₁、C₂、C₃点的坐标，从而发现规律是解题的关键．