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(2001•乌鲁木齐)已知:如图△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于D,过D作⊙O的切线交BC于点E,EF⊥AB,垂足为F.
(1)求证:DE=BC;
(2)若AC=6,BC=8,求S△ACD:S△EDF的值.

【答案】分析:(1)根据题意可知:EC、ED均是圆O的切线,根据切线长定理可得出EC=DE,∠ECD=∠EDC;根据等角的余角相等,可得出∠EDB=∠B,因此DE=BE,由此可得出DE=EC=BE,由此可得证;
(2)由(1)知:DE=BE,因此DF=BF,根据等高的三角形面积比等于底边比可得出△EDF的面积是△EDB的面积的一半,同理可得出△EDB的面积是△CDB的面积的一半,因此△EDF的面积是△CDB的面积的四分之一.那么本题只需得出△ADC和△CDB的面积比即可,即得出AD:BD的值即可.
解答:(1)证明:∵EC、ED都是⊙O的切线,
∴EC=ED,∠ECD=∠EDC.
∵∠EDC+∠EDB=90°,∠ECD+∠B=90°,
∴∠EDB=∠B.
∴ED=BE.
∴DE=BE=EC.
∴DE=BC.

(2)解:在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,则AB=10,
根据射影定理可得:
AD=AC2÷AB=3.6,
BD=BC2÷AB=6.4,
∴S△ACD:S△BCD=AD:BD=9:16,
∵ED=EB,EF⊥BD,
∴S△EDF=S△EBD
同理可得S△EBD=S△BCD
∴S△EDF=S△BCD
∴S△ACD:S△EDF=
点评:本题主要考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点.
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