Question

9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），点P是直线AC下方抛物线上的点（不与A，C重合），连接PA，PC，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，则S与m之间的函数关系式为_____；当m=_____时，S有最大值．（　　）

• A． S=-2m²+10m，5
• B． S=-4m²+20m，$\frac{5}{2}$
• C． S=2m²-10m，5
• D． S=-2m²+10m，$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，求出抛物线与直线AC的解析式后，用含m的式子分别表示P、Q的坐标，最后利用三角形面积公式即可求出答案．

解答 解：设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-5），
把（0，4）代入y=a（x-1）（x-5），
∴a=$\frac{4}{5}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把（0，4）和（5，0）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{0=5k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{5}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{4}{5}$x+4，
把x=m分别代入y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4和y=-$\frac{4}{5}$x+4，
∴P（m，$\frac{4}{5}$m²-$\frac{24}{5}$m+4）、Q（m，-$\frac{4}{5}$m+4）；
∴PQ=（-$\frac{4}{5}$m+4）-（$\frac{4}{5}$m²-$\frac{24}{5}$m+4）=-$\frac{4}{5}$m²+4m，
∴S=S_△APQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$PQ•OH+$\frac{1}{2}$PQ•CH
=$\frac{1}{2}$PQ（OH+CH）
=$\frac{1}{2}$PQ•OC
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$m²+4m）×5
=-2m²+10m（0＜m＜5），
∴S=-2（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$
当m=$\frac{5}{2}$时，
S的最大值为$\frac{25}{2}$，
故选（D）

点评 本题考查二次函数的最值问题，涉及待定系数法求解析式，三角形面积公式等知识，综合程度较高．