Question

5．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（2，4）、B（-4，n）两点．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数的表达式，由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式的解集；
（3）设直线AB交x轴于点D，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，从而找出CD的长度，再根据三角形的面积公式结合S_△ABC=S_△ACD+S_BCD，即可求出S_△ABC的值．

解答 解：（1）∵点A（2，4）在y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=2×4=8，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$．
∵点B（-4，n）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴n=-2，
∴B（-4，-2）．
∵点A（2，4）、B（-4，-2）在直线y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-4k+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=x+2．

（2）观察函数图象可知：当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象上，
∴不等式kx+b＞$\frac{8}{x}$的解集为：-4＜x＜0或x＞2．
（3）设直线AB交x轴于点D，如图所示．
当y=x+2=0时，x=-2，
∴点D的坐标为（-2，0）．
∴CD=2，
∴S_△ABC=S_△ACD+S_BCD=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2=6．

点评 本题考查了一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集；（3）利用分割图形求面积法求出△ABC的面积．