Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当PQ∥AC时，求t的值；
（2）当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形；
（3）当t为何值时，△PBQ的面积等于16厘米²．

Answer 1

分析：（1）根据平行可以得到相似，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比求得t值即可；
（2）分∠PQB=90°和∠QPB=90°两种情况分类讨论即可；
（3）过点A作AD⊥BC于D，过点P作PE⊥BC于E，利用相似三角形求得相应的结论即可．

解答：解：（1）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，即 

10-t

10

=

2t

12

，
解得 t=

15

4

（秒）…（4分）

（2）过点A作AD⊥BC于D，如图1．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=

1

2

BC=6．
∵∠B≠90°，
∴P、B、Q三点构成直角三角形情况有两种：
①∠PQB=90°，即PQ∥AD．
∴

BP

BA

=

BQ

BD

，即 

10-t

10

=

2t

6

，解得 t=

30

13

（秒）…（8分）
②∠QPB=90°．而∠ADB=90°，∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BDA，
∴

BP

BD

=

BQ

BA

，即 

10-t

6

=

2t

10

，解得 t=

50

11

（秒）．
∴由①、②知，当t为

30

13

秒或

50

11

秒时，P、B、Q三点构成直角三角形…（12分）

（3）过点A作AD⊥BC于D，过点P作PE⊥BC于E，如图2．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=

1

2

BC=6．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8．
∵PE∥AD．
∴△BPE∽△BAD，
∴

BP

BA

=

PE

AD

，即 

10-t

10

=

PE

8

，解得 PE=

4

5

（10-t）．
S_△PBQ=

1

2

BQ•PE=16．即 

1

2

•2t•

4

5

（10-t）=16．…（10分）
整理，得t²-10t+20=0．解这个方程，得t₁=5+

5

，t₂=5-

5

．
∵0≤t≤6，∴t₁=5+

5

不符合题意，舍去，只取t₂=5-

5

．
∴当t为（5-

5

）秒时，△PBQ的面积等于16厘米；

点评：本题考查了相似形的综合知识：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．